यदि $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{\binom{n}{r}}$,तो $\sum_{r=0}^n \frac{r}{\binom{n}{r}} = .....$

$VARIABLE$ शब्द के अक्षरों में से यादृच्छिक रूप से तीन अक्षर चुने जाते हैं और उनसे सभी संभव तीन-अक्षरों वाले शब्द (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) बनाए जाते हैं। तो तीन-अक्षरों वाले शब्द में बीच का अक्षर व्यंजन होने की प्रायिकता क्या है?

$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से,$4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके एक शेल्फ पर एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या है:

$SUCCESS$ शब्द के अक्षरों से कितने अलग शब्द बनाए जा सकते हैं जिनमें दोनों $C$ एक साथ हों लेकिन कोई भी दो $S$ एक साथ न हों?

$1000$ और $3000$ के बीच ऐसी संख्याएँ बनानी हैं,जो $4$ से विभाज्य हों,जिसमें अंकों $1, 2, 3, 4, 5$ और $6$ का उपयोग बिना दोहराव के किया गया हो। तो ऐसी कुल संख्याएँ कितनी हैं?

मान लीजिए $n = 1! + 4! + 7! + \ldots + 400!$ है। तो $n$ का दहाई का अंक क्या है?