यदि $a \neq 0, b \neq 0$ और $|a + b| = |a - b|$ है,तो सदिश $a$ और $b$ . . . . हैं।

$b$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ का सदिशों $\vec{u} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{v} = b\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के योग के समांतर इकाई सदिश के साथ अदिश गुणनफल $1$ है।

$ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसमें $\overline{AB}=\bar{a}$,$\overline{AD}=\bar{b}$ और $\overline{AC}=2\bar{a}+3\bar{b}$ है। यदि इसका क्षेत्रफल $AB$ और $AD$ को आसन्न भुजाओं के रूप में रखने वाले समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का $\alpha$ गुना है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overrightarrow{a}=-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$, $\overrightarrow{b}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{c}=-2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ है, तो $2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$ और $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

त्रिभुज $ABC$ में, $D$ और $E$ भुजाओं $BC$ और $CA$ को क्रमशः $2:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं। यदि $P$, $AD$ और $BE$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें $P$, $AD$ को विभाजित करता है।

यदि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है,तो $\vec{b}$ के संभावित सदिशों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ हो,जहाँ $(x, y, z) \in \mathbb{N}$ है।