કિંમત શોધો: $\vec{a} \cdot \{(\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\}$

ધારો કે $x_0$ એ $f(x) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ નું સ્થાનિક મહત્તમ (local maxima) બિંદુ છે, જ્યાં $\vec{a} = x\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = -2\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}$, અને $\vec{c} = 7\hat{i} - 2\hat{j} + x\hat{k}$ છે. તો $x = x_0$ પર $\vec{a} \cdot \vec{c}$ નું મૂલ્ય છે:

જો $A, B, C$ અને $D$ અનુક્રમે $(3,7,4), (5,-2,-3), (-4,5,6)$ અને $(1,2,3)$ હોય,તો $AB, AC$ અને $AD$ ને સહ-અંતિમ ધાર તરીકે ધરાવતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ .... ઘન એકમ છે.

જો $a=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, b=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, c=\hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$ હોય,તો $[(a \times b) \times(b \times c), (b \times c) \times(c \times a), (c \times a) \times(a \times b)] = $

ધારો કે સદિશો $\vec{u} = (2+a+b) \hat{i}+(a+2 b+c) \hat{j}-(b+c) \hat{k}$,$\vec{v} = (1+b) \hat{i}+2 b \hat{j}-b \hat{k}$,અને $\vec{w} = (2+b) \hat{i}+2 b \hat{j}+(1-b) \hat{k}$ જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{R}$ સમતલીય છે. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

વિધાન $1$: સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એક જ સમતલમાં હોય જો અને તો જ $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ થાય.
વિધાન $2$: સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને તો જ $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ થાય,જ્યાં $\vec{u} \times \vec{v}$ એ $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ના સમતલને લંબ સદિશ છે.