શૂન્યત્તર સદિશ $\vec{a}$ એ $\hat{i}$ અને $\hat{i} + \hat{j}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમતલ તથા $\hat{i} - \hat{j}$ અને $\hat{i} + \hat{k}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમતલની છેદરેખાને સમાંતર છે. $\vec{a}$ અને $\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $\sin \theta$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}+2 \vec{b}+3 \vec{c}=\vec{0}$ અને $(\vec{a} \times \vec{b})+(\vec{b} \times \vec{c})+(\vec{c} \times \vec{a})=\lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
વિધાન $(A)$ : નિત્યસમ $|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2=2|\overrightarrow{a}|^2$ એ $\overrightarrow{a}$ માટે સાચું છે.
કારણ $(R)$ : $\overrightarrow{a} \times \hat{i}=a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k}$,$\overrightarrow{a} \times \hat{j}=a_1 \hat{k}-a_3 \hat{i}$,અને $\overrightarrow{a} \times \hat{k}=a_2 \hat{i}-a_1 \hat{j}$.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો સદિશો $\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $-\hat{i}+2 \hat{j}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો દર્શાવતા હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થશે?

$\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{c}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ બે સદિશો છે અને $\vec{a}$ એક એવો એકમ સદિશ છે કે જેથી $\cos (\vec{a}, \vec{b} \times \vec{c})=\sqrt{\frac{2}{3}}$ થાય. તો $|\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})|=$