समतलों $r \cdot (i - 3j + k) = 1$ और $r \cdot (2i + 5j - 3k) = 2$ की प्रतिच्छेदन रेखा किस सदिश के समांतर है?

मान लीजिए $L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}$ और $L_2: \frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{1}$ दो रेखाएँ हैं। मान लीजिए $L_3$ एक रेखा है जो बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से गुजरती है और $L_1$ तथा $L_2$ दोनों के लंबवत है। यदि $L_3$,$L_1$ को प्रतिच्छेद करती है,तो $|5\alpha-11\beta-8\gamma|$ का मान ज्ञात कीजिए:

समतल $x+2y+3z-4=0$ और $2x+y-z+5=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले और समतल $5x+3y-6z+8=0$ पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक रेखा $L$ बिंदु $A$ से गुजरती है जिसका स्थिति सदिश $\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ है और यह सदिश $2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ के समांतर है। एक समतल $\pi$ बिंदुओं $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ से गुजरता है और सदिश $\hat{i}-2 \hat{j}$ के समांतर है। तब वह बिंदु जहाँ यह समतल $\pi$ रेखा $L$ से मिलता है, है

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ निम्नलिखित सीधी रेखाएँ हैं:
$L_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{3}$ और $L_2: \frac{x-1}{-3} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{1}$.
मान लीजिए सीधी रेखा $L: \frac{x-\alpha}{l} = \frac{y-1}{m} = \frac{z-\gamma}{-2}$ उस समतल में स्थित है जिसमें $L_1$ और $L_2$ हैं,और यह $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है। यदि रेखा $L$,$L_1$ और $L_2$ के बीच के न्यून कोण को समद्विभाजित करती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $\alpha-\gamma=3$
$(B)$ $l+m=2$
$(C)$ $\alpha-\gamma=1$
$(D)$ $l+m=0$

एक समतल $\pi$ जो बिंदुओं $2 \hat{i}-3 \hat{j}$ और $3 \hat{i}+4 \hat{k}$ से होकर गुजरता है, सदिश $2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ के समानांतर है। यदि बिंदुओं $\hat{i}+2 \hat{j}$ और $\hat{j}-2 \hat{k}$ को जोड़ने वाली रेखा समतल $\pi$ को बिंदु $a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ पर काटती है, तो $a+b+2c=$