यदि सदिश $a, b$ और $c$ क्रमशः त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ को दर्शाते हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

बल $\overrightarrow{F} = i + 2j + 3k$ का बिंदु $P(2, -1, 1)$ के परितः आघूर्ण (moment) ज्ञात कीजिए। यहाँ स्थिति सदिश $\overrightarrow{r} = 2i - j + k$ है। आघूर्ण $\overrightarrow{M} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ की गणना कीजिए।

दिया गया है $\bar{a} = 2\bar{i} + \bar{j} - 2\bar{k}$ और $\bar{b} = \bar{i} + \bar{j}$। यदि $\bar{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{c}|$,$|\bar{c} - \bar{a}| = 2\sqrt{2}$ और $\bar{a} \times \bar{b}$ तथा $\bar{c}$ के बीच का कोण $30^{\circ}$ है,तो $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$A, B, C$ और $D$ शीर्षों वाले एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए,जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $-\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}$ और $-\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}$ हैं।

माना कि $\overrightarrow{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\overrightarrow{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c}=2(\vec{a} \times \vec{b})+24 \hat{j}-6 \hat{k}$ और $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\hat{i}) \cdot \overrightarrow{c}=-3$ है। तो $|\overrightarrow{c}|^2$ का मान . . . . . . है।

यदि $a=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$b=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$c=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$,$n$ सदिश $a$ और $b$ दोनों के लंबवत है और $\theta$ सदिश $c$ और $n$ के बीच का कोण है,तो $\sin \theta=$