જો $\bar{a} = x\bar{i} - 3\bar{j} - \bar{k}$ અને $\bar{b} = 2x\bar{i} + x\bar{j} - \bar{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ હોય અને $\bar{b}$ તથા $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય,તો $x$ કયા અંતરાલમાં છે?

સાબિત કરો કે $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$ થાય,જો અને માત્ર જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય,જ્યાં $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ આપેલ છે.

જો $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ બે એકમ સદિશો હોય કે જેથી $\overline{a}+2\overline{b}$ અને $5\overline{a}-4\overline{b}$ એકબીજાને લંબ હોય,તો $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જો $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 6 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ બે સદિશો હોય, તો $\vec{a}$ ને સમાંતર $\vec{b}$ ના ઘટકનું માન શોધો. ($\sqrt{2}$ માં)

રેખાઓ $r = 3i + 5j + 7k + \lambda(i + 2j + k)$ અને $r = -i - j - k + \mu(7i - 6j + k)$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.

ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે. બિંદુ $P$ એ $AB$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં અને બિંદુ $Q$ એ $BC$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે વિભાજિત કરે છે. ધારો કે $D$ એ $AQ$ અને $CP$ નું છેદબિંદુ છે. જો ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $k$ ચોરસ એકમ હોય,તો ત્રિકોણ $BCD$ નું ક્ષેત્રફળ ચોરસ એકમમાં કેટલું થાય?