જો $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ હોય,તો $\vec{a} \cdot \vec{b}$ શોધો.

જો $A, B, C$ અને $D$ એવા બિંદુઓ હોય જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, 4 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}, 5 \hat{i}+\hat{j}$ અને $7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ હોય,તો $\vec{AB}$ નો $\vec{CD}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.

જો ત્રણ સદિશો $a, b, c$ એ $a + b + c = 0$ અને $|a| = 3, |b| = 5, |c| = 7$ નું સમાધાન કરે,તો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો .............. $^o$ છે.

ધારો કે $\vec{c}$ અને $\vec{d}$ એવા સદિશો છે કે જેથી $|\vec{c}+\vec{d}|=\sqrt{29}$ અને $\vec{c}\times(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})=(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\times\vec{d}$ થાય. જો $\lambda_1, \lambda_2$ $(\lambda_1 > \lambda_2)$ એ $(\vec{c}+\vec{d}) \cdot (-7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$ ની શક્ય કિંમતો હોય, તો સમીકરણ $K^{2}x^{2}+(K^{2}-5K+\lambda_{1})xy+(3K+\frac{\lambda_{2}}{2})y^{2}-8x+12y+\lambda_{2}=0$ એ વર્તુળ દર્શાવે છે, તો $K$ ની કિંમત શોધો:

જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બે સદિશો એવા હોય કે જેથી $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{2}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b}=-1$ થાય,તો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એ અનુક્રમે $2, 3$ અને $4$ માન ધરાવતા સદિશો હોય, તો આપેલ કિંમતોમાંથી $|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2$ ની શ્રેષ્ઠ ઉપલી સીમા (upper bound) કઈ છે?