a के किस मान के लिए सदिशों i + aj + k,j + ak | vedclass

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Question

(C) समांतर षट्फलक का आयतन $V$,सदिशों के अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।दिए गए सदिश $\vec{u} = (1, a,

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(C) समांतर षट्फलक का आयतन $V$,सदिशों के अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।दिए गए सदिश $\vec{u} = (1, a, 1)$,$\vec{v} = (0, 1, a)$ और $\vec{w} = (a, 0, 1)$ हैं।$V = |\det(\begin{bmatrix} 1 & a & 1 \ 0 & 1 & a \ a & 0 & 1 \end{bmatrix})| = |1(1-0) - a(0-a^2) + 1(0-a)| = |1 + a^3 - a|$.मान लीजिए $f(a) = a^3 - a + 1$ है। न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $f(a)$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$f'(a) = 3a^2 - 1$.$f'(a) = 0$ रखने पर,हमें $3a^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $a^2 = \frac{1}{3}$,अर्थात $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ मिलता है।चूंकि आयतन हमेशा धनात्मक होना चाहिए,हम इसके मान की जांच करते हैं। $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f(a) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^3 - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}} > 0$.दिए गए विकल्पों के अनुसार,$a$ का वह मान जो आयतन को न्यूनतम करता है,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

$a$ के किस मान के लिए सदिशों $i + aj + k$,$j + ak$ और $ai + k$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम होगा?

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शून्यतर सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के लिए,प्रतिबंध $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$ तभी और केवल तभी सत्य है जब:

यदि बिंदु $2a+3b-c, a-2b+3c, 3a+\lambda b-2c$ और $a-6b+6c$ समतलीय हैं, तो सदिश $\lambda \hat{i}-2\lambda \hat{j}+\hat{k}$ की दिक्कोज्याएँ (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

$[\hat{i}-\hat{j}, \hat{j}-\hat{k}, \hat{k}-\hat{i}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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