शून्यतर सदिशों vec{a}, vec{b}, vec{c} के लिए, | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $|(\vec{a} 	imes \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$. चूंकि $|(\vec{a} 	imes \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a} \

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$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $|(\vec{a} 	imes \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$. चूंकि $|(\vec{a} 	imes \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a} 	imes \vec{b}| |\vec{c}| |\cos 	heta|$,जहाँ $	heta$ सदिश $(\vec{a} 	imes \vec{b})$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण है,हमारे पास है $|\vec{a} 	imes \vec{b}| |\vec{c}| |\cos 	heta| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$. $|\vec{a} 	imes \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \phi$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $\phi$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है,हमें प्राप्त होता है: $|\vec{a}||\vec{b}| \sin \phi |\vec{c}| |\cos 	heta| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$. इसका अर्थ है $\sin \phi = 1$ और $|\cos 	heta| = 1$. अतः,$\phi = 90^{\circ}$ (अर्थात $\vec{a} \perp \vec{b}$) और $	heta = 0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ (अर्थात $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समतल के अभिलंब के समानांतर है)। चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a} 	imes \vec{b}$ के समानांतर है,इसलिए $\vec{c} \perp \vec{a}$ और $\vec{c} \perp \vec{b}$ होगा। अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,और $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$।

शून्यतर सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के लिए,प्रतिबंध $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$ तभी और केवल तभी सत्य है जब:

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$\lambda$ के किस मान के लिए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \lambda\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{c} = -3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$ समतलीय हैं?

यदि $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ है,तो $\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=$ . . . . . . .

$\lambda$ के उन भिन्न वास्तविक मानों की संख्या,जिनके लिए सदिश $-\lambda^2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}-\lambda^2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}-\lambda^2 \hat{k}$ समतलीय हैं,है

$O \equiv (0,0,0)$, $A \equiv (2,-2,1)$, $B \equiv (5,-4,4)$ और $C \equiv (1,-2,4)$ शीर्षों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए।

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