જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ નિયમિત ષષ્ટકોણ $ABCDEF$ ની બે પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ દર્શાવતા સદિશો હોય,તો $\vec{AE} = \dots$

બિંદુ $B$ એ વર્તુળના ચતુર્થાંશના ચાપ $AC$ ને $1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. જો $O$ કેન્દ્ર હોય અને $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ તથા $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$ હોય,તો સદિશ $\overrightarrow{OC}$ શું થાય?

સમતલીય બિંદુઓ $A, B, C,$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},$ અને $\vec{d}$ છે,જેથી $(\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ અને $(\vec{b} - \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$ થાય. તો ત્રિકોણ $ABC$ માટે બિંદુ $D$ એ શું છે?

ધારો કે $\hat{i}, \hat{j}$ અને $\hat{k}$ એ ત્રણ ધન યામ અક્ષોની દિશામાં એકમ સદિશો છે. ધારો કે $\vec{a}=3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ $(b_2, b_3 \in \mathbb{R})$,અને $\vec{c}=c_1\hat{i}+c_2\hat{j}+c_3\hat{k}$ $(c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R})$ એ ત્રણ સદિશો છે જેથી $b_2b_3 > 0$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\begin{bmatrix} 0 & -c_3 & c_2 \\ c_3 & 0 & -c_1 \\ -c_2 & c_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-c_1 \\ 1-c_2 \\ -1-c_3 \end{bmatrix}$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા સાચું/સાચા છે?

ધારો કે $a$ અને $b$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $\overrightarrow{PQ} = a \hat{i} + b \hat{j}$ અને $\overrightarrow{PS} = a \hat{i} - b \hat{j}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની પાસપાસેની બાજુઓ છે. ધારો કે $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{v}$ એ $\overrightarrow{w} = \hat{i} + \hat{j}$ ના અનુક્રમે $\overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ પરના પ્રક્ષેપ સદિશો છે. જો $|\vec{u}| + |\vec{v}| = |\vec{w}|$ અને જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $8$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $a + b = 4$
$(B)$ $a - b = 2$
$(C)$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણ $PR$ ની લંબાઈ $4$ છે
$(D)$ $\overrightarrow{w}$ એ સદિશો $\overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક છે

આપેલ છે કે $a$ અને $b$ બે એકમ અસમરેખ સદિશો છે,જો $u = a - (a \cdot b)b$ અને $v = a \times b$ હોય,તો $|v| =$ શોધો.