ધારો કે hat{i}, hat{j} અને hat{k} એ ત્રણ ધન ય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,અને $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}

Vedclass · Accepted Answer

$B, C, D$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,અને $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$.મેટ્રિક્સ સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે:$b_2c_3 - b_3c_2 = c_1 - 3$ ... $(1)$$c_3 - b_3c_1 = 1 - c_2$ ... $(2)$$c_2 - b_2c_1 = 1 + c_3$ ... $(3)$આ સમીકરણો ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b} 	imes \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ દર્શાવે છે.બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા: $\vec{b} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a}$. કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$. આમ,$(B)$ સાચું છે.બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા: $\vec{c} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) = \vec{c} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = |\vec{c}|^2 - \vec{c} \cdot \vec{a}$. તેથી $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 
eq 0$. આમ,$(A)$ ખોટું છે.$\vec{b} 	imes \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ પરથી,બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\vec{b} 	imes \vec{c}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 \implies |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c}$.કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$,આપણી પાસે $|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + 11 - 2|\vec{c}|^2 = 11 - |\vec{c}|^2$ છે.$|\vec{c}|^2(1 + |\vec{b}|^2) = 11 \implies |\vec{c}|^2 = \frac{11}{1 + |\vec{b}|^2} \leq 11$ (કારણ કે $|\vec{b}|^2 \geq 1$),તેથી $|\vec{c}| \leq \sqrt{11}$. આમ,$(D)$ સાચું છે.કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + b_2 - b_3 = 0 \implies b_3 - b_2 = 3$. વર્ગ કરતા: $b_3^2 + b_2^2 - 2b_2b_3 = 9$. કારણ કે $b_2b_3 > 0$,$b_3^2 + b_2^2 = 9 + 2b_2b_3 > 9$. તેથી $|\vec{b}|^2 = 1 + b_2^2 + b_3^2 > 10$,તેથી $|\vec{b}| > \sqrt{10}$. આમ,$(C)$ સાચું છે.તેથી,$(B), (C), (D)$ સાચા છે.

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ $R^2$ માં,જો સદિશ $\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}$ નો $\sqrt{3} \hat{i}+\hat{j}$ પરના પ્રક્ષેપ સદિશનું માન $\sqrt{3}$ હોય અને જો $\alpha=2+\sqrt{3} \beta$ હોય,તો $\|\alpha\|$ ની શક્ય કિંમત(ઓ) છે	$(P)$ $1$
$(B)$ ધારો કે $a$ અને $b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી વિધેય $f(x)=\begin{cases} -3ax^2-2, & x < 1 \\ bx+a^2, & x \geq 1 \end{cases}$ એ તમામ $x \in R$ માટે વિકલનીય છે. તો $a$ ની શક્ય કિંમત(ઓ) છે	$(Q)$ $2$
$(C)$ ધારો કે $\omega \neq 1$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે. જો $(3-3\omega+2\omega^2)^{4n+3} + (2+3\omega-3\omega^2)^{4n+3} + (-3+2\omega+3\omega^2)^{4n+3}=0$ હોય,તો $n$ ની શક્ય કિંમત(ઓ) છે	$(R)$ $3$
$(D)$ ધારો કે બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ નો હરાત્મક મધ્યક $4$ છે. જો $q$ એ એવી ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી $a, 5, q, b$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો $\|q-a\|$ ની કિંમત(ઓ) છે	$(S)$ $4$
	$(T)$ $5$

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$(A)$ $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]$	$1. \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos(\mathbf{a}, \mathbf{b})$
$(B)$ $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b}$	$2. (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$
$(C)$ $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$	$3. \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
$(D)$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$	$4. \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|$
	$5. (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$

Similar Questions

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module