मान लीजिए hat{i}, hat{j} और hat{k} तीन धनात्म | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,और $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat

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$B, C, D$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,और $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$।मैट्रिक्स समीकरण से,हमें प्राप्त होता है:$b_2c_3 - b_3c_2 = c_1 - 3$ ... $(1)$$c_3 - b_3c_1 = 1 - c_2$ ... $(2)$$c_2 - b_2c_1 = 1 + c_3$ ... $(3)$ये समीकरण क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b} 	imes \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ को दर्शाते हैं।दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर: $\vec{b} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a}$। चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$। अतः,$(B)$ सत्य है।दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर: $\vec{c} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) = \vec{c} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = |\vec{c}|^2 - \vec{c} \cdot \vec{a}$। अतः $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 
eq 0$। अतः,$(A)$ असत्य है।$\vec{b} 	imes \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ से,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{b} 	imes \vec{c}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 \implies |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c}$।चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$,हमारे पास $|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + 11 - 2|\vec{c}|^2 = 11 - |\vec{c}|^2$ है।$|\vec{c}|^2(1 + |\vec{b}|^2) = 11 \implies |\vec{c}|^2 = \frac{11}{1 + |\vec{b}|^2} \leq 11$ (चूँकि $|\vec{b}|^2 \geq 1$),इसलिए $|\vec{c}| \leq \sqrt{11}$। अतः,$(D)$ सत्य है।चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + b_2 - b_3 = 0 \implies b_3 - b_2 = 3$। वर्ग करने पर: $b_3^2 + b_2^2 - 2b_2b_3 = 9$। चूँकि $b_2b_3 > 0$,$b_3^2 + b_2^2 = 9 + 2b_2b_3 > 9$। इसलिए $|\vec{b}|^2 = 1 + b_2^2 + b_3^2 > 10$,इसलिए $|\vec{b}| > \sqrt{10}$। अतः,$(C)$ सत्य है।इसलिए,$(B), (C), (D)$ सत्य हैं।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]$	$1. \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos(\mathbf{a}, \mathbf{b})$
$(B)$ $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b}$	$2. (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$
$(C)$ $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$	$3. \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
$(D)$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$	$4. \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|$
	$5. (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$

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