यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं और यदि $\vec{d}$ इस प्रकार है कि $\vec{d} = \frac{1}{x}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ और $\vec{d} = \frac{1}{y}(\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$ जहाँ $x$ और $y$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं, तो $\frac{1}{xy}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$ का मान क्या होगा?

एक चतुर्भुज $ABCD$ में, बिंदु $P$, $DC$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है और $Q$, $AC$ का मध्य बिंदु है। यदि $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{PQ}$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ तीन दिए गए सदिश हैं। मान लीजिए कि $\vec{v}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में एक सदिश है जिसका $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{2}{\sqrt{3}}$ है। यदि $\vec{v} \cdot \hat{j}=7$ है,तो $\vec{v} \cdot (\hat{i}+\hat{k})$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $O$ मूलबिंदु है और $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,$\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \lambda\overline{OA})$ किसी $\lambda > 0$ के लिए है। यदि $|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{9}{2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ $\overline{OC}$ का $\overline{OA}$ पर प्रक्षेप $-\frac{3}{2}$ है
$(B)$ त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{9}{2}$ है
$(C)$ त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{9}{2}$ है
$(D)$ $\overline{OA}$ और $\overline{OC}$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के बीच का न्यून कोण $\frac{\pi}{3}$ है

यदि $\hat{a}, \hat{b}$ और $\hat{c}$ असमतलीय सदिश हैं और यदि $\hat{d}$ इस प्रकार है कि $\hat{d} = \frac{1}{x}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c})$ और $\hat{d} = \frac{1}{y}(\hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ जहाँ $x$ और $y$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{xy}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $b$ और $c$ असंरेख सदिश हैं, $|c| \neq 0$, $a \times(b \times c)+(a \cdot b) b=(4-2 \beta-\sin \alpha) b+\left(\beta^2-1\right) c$ और $(c \cdot c) a=c$ है, तो अदिश $\alpha$ और $\beta$ क्या हैं?