मान लीजिए O मूलबिंदु है और overline{OA} = 2ha | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$।$|\overline{OA}| = \sqrt{2^2 + 2^2

Vedclass · Accepted Answer

$A, B, C$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$।$|\overline{OA}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3$ और $|\overline{OB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$।$\overline{OA} \cdot \overline{OB} = (2)(1) + (2)(-2) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$,अतः $\overline{OA} \perp \overline{OB}$।$\overline{OB} 	imes \overline{OC} = \overline{OB} 	imes \frac{1}{2}(\overline{OB} - \lambda\overline{OA}) = \frac{1}{2}(\overline{OB} 	imes \overline{OB} - \lambda(\overline{OB} 	imes \overline{OA})) = \frac{\lambda}{2}(\overline{OA} 	imes \overline{OB})$।$|\overline{OB} 	imes \overline{OC}| = \frac{\lambda}{2} |\overline{OA}| |\overline{OB}| = \frac{\lambda}{2} (3)(3) = \frac{9\lambda}{2}$।दिया गया है $|\overline{OB} 	imes \overline{OC}| = \frac{9}{2}$,अतः $\frac{9\lambda}{2} = \frac{9}{2} \implies \lambda = 1$।इस प्रकार,$\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA})$।$(A)$ $\overline{OC}$ का $\overline{OA}$ पर प्रक्षेप $= \frac{\overline{OC} \cdot \overline{OA}}{|\overline{OA}|} = \frac{\frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA}) \cdot \overline{OA}}{3} = \frac{1}{6}(\overline{OB} \cdot \overline{OA} - |\overline{OA}|^2) = \frac{1}{6}(0 - 9) = -\frac{3}{2}$। कथन $(A)$ सत्य है।$(B)$ $	riangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{OA} 	imes \overline{OB}| = \frac{1}{2} |\overline{OA}| |\overline{OB}| = \frac{1}{2} (3)(3) = \frac{9}{2}$। कथन $(B)$ सत्य है।$(C)$ $	riangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AB} 	imes \overline{AC}|$। चूँकि $\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA}) = \frac{1}{2}\overline{AB}$,तो $\overline{AB} = 2\overline{OC}$। $\overline{AC} = \overline{OC} - \overline{OA}$।क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2\overline{OC} 	imes (\overline{OC} - \overline{OA})| = |\overline{OC} 	imes \overline{OC} - \overline{OC} 	imes \overline{OA}| = |\overline{OA} 	imes \overline{OC}| = |\overline{OA} 	imes \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA})| = \frac{1}{2} |\overline{OA} 	imes \overline{OB}| = \frac{9}{2}$। कथन $(C)$ सत्य है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]$	$1. \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos(\mathbf{a}, \mathbf{b})$
$(B)$ $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b}$	$2. (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$
$(C)$ $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$	$3. \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
$(D)$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$	$4. \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|$
	$5. (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$

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