$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से यादृच्छिक रूप से दो पत्ते निकालने पर दोनों के राजा होने की प्रायिकता क्या है?

यदि $A_1, A_2, \ldots, A_{15}$ एक यादृच्छिक प्रयोग की घटनाएं हैं, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

दो व्यक्ति प्रत्येक एक पासा फेंकते हैं। उनके समान मान प्राप्त करने की प्रायिकता $p_1$ है। चार व्यक्ति प्रत्येक एक पासा फेंकते हैं और तीन के समान होने की प्रायिकता $p_2$ है,तो:

$10$ इंजीनियरिंग कॉलेज और पांच छात्र $A, B, C, D, E$ हैं। इन सभी छात्रों को इन $10$ इंजीनियरिंग कॉलेजों से ऑफर मिला है। वे एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से यादृच्छिक रूप से कॉलेज चुनते हैं। इस बात की प्रायिकता कि सभी को अलग-अलग कॉलेजों में प्रवेश मिले,उसे $\frac{a}{b}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं। तो $a + b$ का मान है:

$3n$ क्रमागत पूर्णांकों में से तीन पूर्णांक यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। उनके योग के $3$ से विभाज्य होने की प्रायिकता क्या है?

$1, 2, \dots, n$ संख्याओं में से दो संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। पहली और दूसरी संख्या के बीच का अंतर $m$ (जहाँ $0 < m < n$) से कम न होने की प्रायिकता क्या है?