बोर परमाणु की $n$ वीं अनुमत कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन से जुड़ी डी ब्रोग्ली तरंगों की संख्या क्या है?

हाइड्रोजन की पहली कक्षा की त्रिज्या $r_{H}$ है और मूल अवस्था (ground state) में ऊर्जा $-13.6 \text{ eV}$ है। हाइड्रोजन परमाणु की तरह एक प्रोटॉन के चारों ओर घूमते हुए $207 m_e$ द्रव्यमान वाले $\mu^{-}$-कण पर विचार करते हुए,पहली कक्षा में प्रोटॉन और $\mu^{-}$-संयोजन की ऊर्जा और त्रिज्या क्रमशः क्या होगी? (नाभिक को स्थिर मानें)

इस विचार को समायोजित करने के लिए कि पदार्थ केवल $5$ तत्वों से बना है,एक वैज्ञानिक ने निम्नलिखित परिकल्पना प्रस्तावित की: परमाणुओं में अधिकतम मुख्य क्वांटम संख्या $n_{\max}$ हो सकती है और इससे अधिक नहीं। तो,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य होना चाहिए?

एक हाइड्रोजन परमाणु,जो शुरू में अपनी मूल अवस्था (ground state) में स्थिर है,$v_1$ आवृत्ति का एक फोटॉन अवशोषित करता है और $10 eV$ की गतिज ऊर्जा के साथ इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालता है। फिर यह इलेक्ट्रॉन एक स्थिर पॉज़िट्रॉन के साथ मिलकर अपनी मूल अवस्था में एक पॉज़िट्रोनियम परमाणु बनाता है और साथ ही $v_2$ आवृत्ति का एक फोटॉन उत्सर्जित करता है। परिणामी पॉज़िट्रोनियम परमाणु का द्रव्यमान केंद्र $5 eV$ की गतिज ऊर्जा के साथ चलता है। यह दिया गया है कि पॉज़िट्रॉन का द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के समान है और पॉज़िट्रोनियम परमाणु को एक बोहर परमाणु माना जा सकता है,जिसमें इलेक्ट्रॉन और पॉज़िट्रॉन अपने द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर परिक्रमा करते हैं। पूरी प्रक्रिया के दौरान किसी अन्य ऊर्जा हानि को न मानते हुए,दोनों फोटॉन ऊर्जाओं के बीच का अंतर ($eV$ में) $....$ है। ($.80$ में)

यदि हाइड्रोजन परमाणु में प्रथम उत्तेजित अवस्था में ऊर्जा $23.8 \, eV$ है,तो हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था (ground state) में स्थितिज ऊर्जा को ....... $eV$ माना जा सकता है।

$m$ द्रव्यमान का एक कण मूल बिंदु के चारों ओर घूम रहा है और एक स्थिर बल $F$ इसे मूल बिंदु की ओर खींच रहा है। यदि इसकी गति का वर्णन करने के लिए बोहर मॉडल का उपयोग किया जाता है,तो $n^{\text{th}}$ कक्षा की त्रिज्या $r$ और कक्षा में कण की गति $v$,$n$ पर किस प्रकार निर्भर करती है?