बिंदु P,बिंदुओं Q(2, 3, 5) और R(1, -1, 4) को | vedclass

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Question

(A) बिंदुओं $Q(2, 3, 5)$ और $R(1, -1, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $QR$ का समीकरण $\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-5}{4-5} \Rightarrow \frac{x

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$\frac{1}{\sqrt{2}}$

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(A) बिंदुओं $Q(2, 3, 5)$ और $R(1, -1, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $QR$ का समीकरण $\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-5}{4-5} \Rightarrow \frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-5}{-1} = \lambda$ है।इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(\lambda+2, 4\lambda+3, \lambda+5)$ है।चूंकि $P$ समतल $5x - 4y - z = 1$ पर स्थित है,इसलिए $5(\lambda+2) - 4(4\lambda+3) - (\lambda+5) = 1$.$5\lambda + 10 - 16\lambda - 12 - \lambda - 5 = 1 \Rightarrow -12\lambda - 7 = 1 \Rightarrow -12\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = -\frac{2}{3}$.अतः,$P = (-\frac{2}{3}+2, 4(-\frac{2}{3})+3, -\frac{2}{3}+5) = (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{13}{3})$.अब,मान लीजिए $S$ बिंदु $T(2, 1, 4)$ से रेखा $QR$ पर लंब का पाद है। मान लीजिए $S = (\mu+2, 4\mu+3, \mu+5)$.$TS$ के दिक अनुपात $(\mu+2-2, 4\mu+3-1, \mu+5-4) = (\mu, 4\mu+2, \mu+1)$ हैं।चूंकि $TS \perp QR$,इसलिए $TS$ और $QR(1, 4, 1)$ के दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य है: $1(\mu) + 4(4\mu+2) + 1(\mu+1) = 0$.$\mu + 16\mu + 8 + \mu + 1 = 0 \Rightarrow 18\mu = -9 \Rightarrow \mu = -\frac{1}{2}$.अतः,$S = (-\frac{1}{2}+2, 4(-\frac{1}{2})+3, -\frac{1}{2}+5) = (\frac{3}{2}, 1, \frac{9}{2})$.लंबाई $PS = \sqrt{(\frac{3}{2}-\frac{4}{3})^2 + (1-\frac{1}{3})^2 + (\frac{9}{2}-\frac{13}{3})^2} = \sqrt{(\frac{1}{6})^2 + (\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{16}{36} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{18}{36}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

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