रेखाओं vec{r} = (4hat{i} - hat{j}) + lambda(h | vedclass

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Question

(D) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र है:$d = \left| \fra

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$\frac{6}{\sqrt{5}}$

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(D) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र है:$d = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} 	imes \vec{b_2})}{|\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}|} ight|$दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर:$\vec{a_1} = 4\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$$\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$,$\vec{b_2} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$सबसे पहले,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (1-4)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}$ ज्ञात करें।इसके बाद,सदिश गुणनफल $\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}$ ज्ञात करें:$\vec{b_1} 	imes \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 2 & -3 \ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10 - (-12)) - \hat{j}(-5 - (-6)) + \hat{k}(4 - 4) = 2\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$.अब,अदिश गुणनफल $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} 	imes \vec{b_2})$ ज्ञात करें:$(-3\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}) = (-3)(2) + (0)(-1) + (2)(0) = -6 + 0 + 0 = -6$.परिमाण (Magnitude) $|\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$.अतः,न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{-6}{\sqrt{5}} ight| = \frac{6}{\sqrt{5}}$।

रेखाओं $\vec{r} = (4\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})$ और $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

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उस रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) ज्ञात कीजिए जो रेखाओं $\frac{x-7}{2}=\frac{y+17}{-3}=\frac{z-6}{1}$ और $\frac{x+5}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-6}{-2}$ पर लंब है।

यदि दो रेखाएँ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{4}$ और $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{1}$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{-1}$ और $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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