रेखाओं vec{r} = (hat{i} + hat{j} - hat{k}) + | vedclass

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Question

(C) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम रेखाओं को कार्तीय रूप में व्यक्त करते हैं या घटकों की तुलना करते हैं।रेखा $1$: $x = 1 + \lambda, y = 1 - \

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(C) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम रेखाओं को कार्तीय रूप में व्यक्त करते हैं या घटकों की तुलना करते हैं।रेखा $1$: $x = 1 + \lambda, y = 1 - \lambda, z = -1$.रेखा $2$: $x = 4 + 2\mu, y = 0, z = -1 + \mu$.$y$-घटकों की तुलना करने पर: $1 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.रेखा $1$ के $x$-घटक में $\lambda = 1$ रखने पर: $x = 1 + 1 = 2$.हालाँकि, रेखा $2$ के $y$-घटकों की तुलना करने पर $y = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, बिंदु को दोनों समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।रेखा $2$ से, $y = 0$ स्थिर है। अतः, $1 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.$\lambda = 1$ पर, रेखा $1$ पर बिंदु $(1+1, 1-1, -1) = (2, 0, -1)$ है।इस बिंदु के लिए रेखा $2$ की जाँच करने पर: $x = 4 + 2\mu = 2 \Rightarrow 2\mu = -2 \Rightarrow \mu = -1$.$z$-घटक की जाँच करने पर: $z = -1 + \mu = -1 + (-1) = -2$. यह $z = -1$ से मेल नहीं खाता है।प्रतिच्छेदन का पुनर्मूल्यांकन: रेखाएँ $(4, 0, -1)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं जहाँ $\mu = 0$ और $\lambda = -3$ ($x=1+\lambda=4$ से)।बिंदु $P = (4, 0, -1)$.मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी का वर्ग $d^2 = 4^2 + 0^2 + (-1)^2 = 16 + 0 + 1 = 17$ है।

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रेखाओं $\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

बिंदु $A(1, 0, 3)$ से बिंदुओं $B(4, 7, 1)$ और $C(3, 5, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा पर डाले गए लंब के पाद (foot of perpendicular) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{j})$ और $\vec{r} = (4\hat{i} - \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 3\hat{k})$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

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