बिंदु $2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ की समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}) = 9$ से दूरी ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{2-y}{-3}=\frac{z-3}{\alpha}$ और $\frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{\beta}$ प्रतिच्छेद करती हैं,तो $8 \alpha \beta$ के न्यूनतम मान का परिमाण $...............$ है।

समतलों $x + y + z = 6$ और $2x + 3y + 4z + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और बिंदु $(1, 1, 1)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि बिंदु $A(4, 3, 1)$ से समतल $P: x - y + 2z + 3 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद $N$ है। यदि $B(5, \alpha, \beta)$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$,समतल $P$ पर एक बिंदु है और त्रिभुज $ABN$ का क्षेत्रफल $3\sqrt{2}$ है,तो $\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta$ का मान $...........$ है।

रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{3}$ और समतल $2x + 3y + z = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

प्रथम अष्टांश $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ में स्थित एक पिरामिड $OPQRS$ पर विचार करें,जहाँ $O$ मूलबिंदु है,और $OP$ तथा $OR$ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर हैं। पिरामिड का आधार $OPQR$ एक वर्ग है जिसमें $OP=3$ है। बिंदु $S$ विकर्ण $OQ$ के मध्य-बिंदु $T$ के ठीक ऊपर है,इस प्रकार कि $TS=3$ है। तब: