वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 7y + 12 = 0$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

वृत्त $C_1: x^2+y^2=3$,जिसका केंद्र $O$ है,परवलय $x^2=2y$ को प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करता है। मान लीजिए कि $P$ पर वृत्त $C_1$ की स्पर्श रेखा अन्य दो वृत्तों $C_2$ और $C_3$ को क्रमशः $R_2$ और $R_3$ पर स्पर्श करती है। मान लीजिए कि $C_2$ और $C_3$ की त्रिज्याएँ समान $2\sqrt{3}$ हैं और केंद्र क्रमशः $Q_2$ और $Q_3$ हैं। यदि $Q_2$ और $Q_3$ $y$-अक्ष पर स्थित हैं,तो:
$(A)$ $Q_2Q_3=12$
$(B)$ $R_2R_3=4\sqrt{6}$
$(C)$ त्रिभुज $OR_2R_3$ का क्षेत्रफल $6\sqrt{2}$ है
$(D)$ त्रिभुज $PQ_2Q_3$ का क्षेत्रफल $4\sqrt{2}$ है

परवलय $y^2 = 4x + 16$ की नाभि $5$ त्रिज्या वाले वृत्त $C$ का केंद्र है। यदि $\lambda$ के वे मान,जिनके लिए $C$ रेखाओं $3x - y = 0$ और $x + \lambda y = 4$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है,$\lambda_1$ और $\lambda_2$ $(\lambda_1 < \lambda_2)$ हैं,तो $12\lambda_1 + 29\lambda_2$ का मान . . . . . . है।

यदि रेखा $ax + by = 0$ वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0$ को स्पर्श करती है और वृत्त ${x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 3 = 0$ का अभिलंब है,तो $(a, b)$ का मान क्या होगा?

वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ का व्यास,$(2, 1)$ केंद्र वाले दूसरे वृत्त की एक जीवा है। इस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

$c$ का वह मान जिसके लिए समुच्चय,$\{(x, y) | x^2 + y^2 + 2x \le 1 \} \cap \{(x, y) | x - y + c \ge 0\}$ में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है,है :