यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई $8$ है और इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) $\frac{3}{\sqrt{5}}$ है,तो अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उत्केंद्रता $e$ वाले एक अतिपरवलय के नाभिलंब की लंबाई $9$ है और नियताएँ $x = \pm \frac{4}{\sqrt{13}}$ हैं। यदि रेखा $y - \sqrt{3}x + \sqrt{3} = 0$ इस अतिपरवलय को $(x_0, y_0)$ पर स्पर्श करती है,और $m$ बिंदु $(x_0, y_0)$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल है,तो $4e^2 + m$ का मान ........... है।

मान लीजिए $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$,जहाँ $a > b > 0$,$xy$-समतल में एक अतिपरवलय है जिसका संयुग्मी अक्ष $LM$ इसके एक शीर्ष $N$ पर $60^{\circ}$ का कोण बनाता है। मान लीजिए त्रिभुज $LMN$ का क्षेत्रफल $4\sqrt{3}$ है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$P$. $H$ के संयुग्मी अक्ष की लंबाई है	$1$. $8$
$Q$. $H$ की उत्केंद्रता है	$2$. $\frac{4}{\sqrt{3}}$
$R$. $H$ की नाभियों के बीच की दूरी है	$3$. $\frac{2}{\sqrt{3}}$
$S$. $H$ के नाभिलंब की लंबाई है	$4$. $4$

सही विकल्प है:

$\gamma$ के किस मान के लिए रेखा $y = 2x + \gamma$,अतिपरवलय $16x^{2} - 9y^{2} = 144$ को स्पर्श करती है?

यदि $(\alpha, -1)$ वक्र $4x^2 - 3y^2 = 1$ का एक आंतरिक बिंदु है,तो $\alpha$ किस अंतराल में स्थित है?

शांकव ${x^2} - 4{y^2} = 1$ की उत्केंद्रता (eccentricity) है