यदि बिंदु $(1, 2)$ से वृत्तों $x^2 + y^2 + x + y - 4 = 0$ और $3x^2 + 3y^2 - x - y + k = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $4 : 3$ है,तो $k = \dots$

मान लीजिए $S$ उन सभी बिंदुओं $\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right)$ का समुच्चय है जो $(0,0)$ पर केंद्रित $1$ त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित हैं,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य पूर्णांक हैं,$c$ और $d$ सह-अभाज्य पूर्णांक हैं (अर्थात $\operatorname{HCF}(a, b) = \operatorname{HCF}(c, d) = 1$),और पूर्णांक $b$ तथा $d$ सम हैं। तो,समुच्चय $S$:

मान लीजिए $C$,$XY$-समतल में वृत्त $x^2+y^2=1$ है। प्रत्येक $t \geq 0$ के लिए,मान लीजिए $L_t$ वह रेखा है जो $(0,1)$ और $(t, 0)$ से होकर गुजरती है। ध्यान दें कि $L_t$,$C$ को दो बिंदुओं पर काटती है,जिनमें से एक $(0,1)$ है। मान लीजिए $Q_t$ दूसरा बिंदु है। जैसे-जैसे $t$,$1$ और $1+\sqrt{2}$ के बीच बदलता है,बिंदुओं $Q_t$ का संग्रह $C$ पर एक चाप बनाता है। इस चाप द्वारा $(0,0)$ पर अंतरित कोण है

यदि वृत्त $2(x^2 + y^2) + 3x + 4y - 1 = 0$ का व्यास $y = 2x + k$ है,तो $k = \dots$

एक रेखा $y=mx+1$ वृत्त $(x-3)^2+(y+2)^2=25$ को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। यदि रेखाखंड $PQ$ के मध्य बिंदु का $x$-निर्देशांक $-\frac{3}{5}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

यदि $\theta$ बिंदु $(-1, -1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y + c = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण है और $\cos \theta = -\frac{7}{25}$ है,तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।