दो अतिपरवलयों frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} | vedclass

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Question

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ है।इस रेखा के अतिपरवलय $\frac{y^2}{a^2}

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$y = \pm x \pm \sqrt{a^2 - b^2}$

Vedclass · Answer

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ है।इस रेखा के अतिपरवलय $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने के लिए,$y = mx + c$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{(mx + c)^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$$b^2(m^2x^2 + 2mcx + c^2) - a^2x^2 = a^2b^2$$x^2(b^2m^2 - a^2) + 2b^2mcx + (b^2c^2 - a^2b^2) = 0$.चूंकि यह एक स्पर्श रेखा है,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए:$D = (2b^2mc)^2 - 4(b^2m^2 - a^2)(b^2c^2 - a^2b^2) = 0$$a^2b^2m^2 + a^2c^2 - a^4 = 0$$b^2m^2 + c^2 - a^2 = 0$,अतः $c^2 = a^2 - b^2m^2$.$c^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:$a^2m^2 - b^2 = a^2 - b^2m^2$$m^2(a^2 + b^2) = a^2 + b^2$$m^2 = 1 \implies m = \pm 1$.$m^2 = 1$ को $c^2 = a^2m^2 - b^2$ में रखने पर:$c^2 = a^2 - b^2$,अतः $c = \pm \sqrt{a^2 - b^2}$.अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का समीकरण $y = \pm x \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ है।

दो अतिपरवलयों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ के उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का समीकरण क्या है?

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रेखा $y = x - 1$ और अतिपरवलय $3x^2 - 4y^2 = 12$ का स्पर्श बिंदु है

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