अंतराल $[1, e]$ पर $f(x) = x^2 \log x$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ को $f(x)=|x|+|x^2-1|$ के रूप में परिभाषित किया गया है। उन बिंदुओं की कुल संख्या ज्ञात कीजिए जिन पर $f$ या तो स्थानीय अधिकतम या स्थानीय न्यूनतम मान प्राप्त करता है।

यदि फलन $f(x) = (\frac{1}{x})^{2x}$ जहाँ $x > 0$ का अधिकतम मान $x = \frac{1}{e}$ पर प्राप्त होता है,तो:

वक्र $x^2 = 2y$ पर स्थित वह बिंदु जो $(0, 5)$ के सबसे निकट है,वह . . . . . . है।

$30\,cm$ भुजा वाले टिन के एक वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने से $x$ भुजा वाला एक वर्ग काटकर और फ्लैप्स को मोड़कर ऊपर से खुला एक बॉक्स बनाया जाना है। यदि बॉक्स का आयतन अधिकतम है,तो इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ($cm^2$ में) $............$ के बराबर है।

एक टैंक जिसका आधार आयताकार है और भुजाएँ आयताकार हैं, ऊपर से खुला है। टैंक की गहराई $4 \text{ m}$ है और इसका आयतन $36 \text{ m}^3$ है। आधार सामग्री की लागत $\text{Rs. } 100 \text{ प्रति m}^2$ है और भुजाओं की सामग्री की लागत $\text{Rs. } 50 \text{ प्रति m}^2$ है। टैंक की न्यूनतम लागत ज्ञात कीजिए।