एक फलन y = f(x) के व्युत्क्रमणीय (invertible) | vedclass

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Question

(C) एक फलन $f: A 	o B$ व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि वह एकैकी (one-to-one) और आच्छादक (onto) यानी एकैकी-आच्छादक (bijection) हो।वास्तविक मान व

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अपने प्रांत (domain) में कड़ाई से एकदिष्ट (strictly monotonic) और सतत हो

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(C) एक फलन $f: A 	o B$ व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि वह एकैकी (one-to-one) और आच्छादक (onto) यानी एकैकी-आच्छादक (bijection) हो।वास्तविक मान वाले फलन $f(x)$ के लिए अपने प्रांत पर एकैकी-आच्छादक होने के लिए,इसे कड़ाई से एकदिष्ट (या तो कड़ाई से वर्धमान या कड़ाई से ह्रासमान) और सतत होना चाहिए।यदि कोई फलन कड़ाई से एकदिष्ट है,तो यह सुनिश्चित करता है कि वह एकैकी है।यदि यह अपने प्रांत पर सतत भी है,तो यह प्रांत को अपने परिसर (range) पर आच्छादित करता है,जो आच्छादक होने की शर्त को पूरा करता है।इसलिए,सही शर्त यह है कि फलन को अपने प्रांत में कड़ाई से एकदिष्ट और सतत होना चाहिए।

एक फलन $y = f(x)$ के व्युत्क्रमणीय (invertible) होने के लिए शर्त यह है कि वह:

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मान लीजिए कि $f : R \rightarrow R$,$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$ द्वारा परिभाषित है। तो $f^{-1}(x)$ क्या होगा?

$f: R \rightarrow R$ पर विचार करें जो $f(x)=4x+3$ द्वारा दिया गया है। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f(x) = (x + 1)^2 - 1$ जहाँ $x \ge -1$ है। तो समुच्चय $S = \{ x : f(x) = f^{-1}(x) \}$ है

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