intlimits_0^x {t{e^{ - {t^2}}}} dt का न्यूनतम | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = \int\limits_0^x {t{e^{ - {t^2}}}} dt$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,अवकलज $f'(x) = x{e^{ - {x^2}}}$ है। $f'(x) = 0$ रखने पर,हमें

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(C) माना $f(x) = \int\limits_0^x {t{e^{ - {t^2}}}} dt$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,अवकलज $f'(x) = x{e^{ - {x^2}}}$ है। $f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x{e^{ - {x^2}}} = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए ${e^{ - {x^2}}} 
eq 0$,इसलिए $x = 0$ है। अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर: $f''(x) = {e^{ - {x^2}}} - 2{x^2}{e^{ - {x^2}}} = {e^{ - {x^2}}}(1 - 2{x^2})$। $x = 0$ पर मान रखने पर,$f''(0) = {e^0}(1 - 0) = 1 > 0$। चूँकि द्वितीय अवकलज $x = 0$ पर धनात्मक है,इसलिए फलन का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है। न्यूनतम मान $f(0) = \int\limits_0^0 {t{e^{ - {t^2}}}} dt = 0$ है।

$\int\limits_0^x {t{e^{ - {t^2}}}} dt$ का न्यूनतम मान क्या है?

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यदि $g(1) = g(2)$,तो $\int_1^2 {{{\left[ {f(g(x))} \right]}^{ - 1}}} f'\{ g(x)\} \;g'(x)\;dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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