यदि f(x) = frac{lambda sin x + 6 cos x}{2 sin | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$.भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपय

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$\lambda > 4$

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(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$.भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,$f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{(\lambda \cos x - 6 \sin x)(2 \sin x + 3 \cos x) - (\lambda \sin x + 6 \cos x)(2 \cos x - 3 \sin x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$अंश का विस्तार करने पर:$= \frac{(2\lambda \sin x \cos x + 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x) - (2\lambda \sin x \cos x - 3\lambda \sin^2 x + 12 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$$= \frac{3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x + 3\lambda \sin^2 x - 12 \cos^2 x}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$$= \frac{3\lambda(\cos^2 x + \sin^2 x) - 12(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2} = \frac{3\lambda - 12}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$चूंकि $f(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए $f'(x) > 0$ होना चाहिए।चूंकि हर $(2 \sin x + 3 \cos x)^2$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए $3\lambda - 12 > 0$ होना चाहिए।$3\lambda > 12 \implies \lambda > 4$.

यदि $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$ एक निरंतर वर्धमान फलन है,तो .......

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फलन $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 3 \cos x}{2 \sin x + 6 \cos x}$ एकदिष्ट वर्धमान है,तो :

दर्शाइए कि $f(x) = \sin x$ द्वारा प्रदत्त फलन $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ में ह्रासमान है।

$a$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $f(x) = \sqrt{3} \sin x - \cos x - 2ax + b$,$x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए एक ह्रासमान (decreasing) फलन है।

यदि $f(x)=x^3+b x^2+c x+d$ और $0 < b^2 < c$ है,तो $(-\infty, \infty)$ में

फलन $f(x) = x + \cos x$ है

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