a का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए f(x) = sqrt | vedclass

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Question

(B) फलन $f(x)$ के $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए ह्रासमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) \leqslant 0$ होना चाहिए।दिया गया है $f(x) = \sqrt{3} \sin x

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$a \geqslant 1$

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(B) फलन $f(x)$ के $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए ह्रासमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) \leqslant 0$ होना चाहिए।दिया गया है $f(x) = \sqrt{3} \sin x - \cos x - 2ax + b$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f'(x) = \sqrt{3} \cos x + \sin x - 2a$.$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) \leqslant 0$ सभी $x$ के लिए होना चाहिए।$\sqrt{3} \cos x + \sin x \leqslant 2a$.हम जानते हैं कि $A \cos x + B \sin x$ का मान $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ अंतराल में होता है।यहाँ,$A = \sqrt{3}$ और $B = 1$,इसलिए $\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$.अतः,$\sqrt{3} \cos x + \sin x$ का अधिकतम मान $2$ है।असमानता $2 \leqslant 2a$ को सभी $x$ के लिए सत्य होने के लिए,$2 \leqslant 2a$ अर्थात $a \geqslant 1$ होना चाहिए।अतः,सही विकल्प $B$ है।

$a$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $f(x) = \sqrt{3} \sin x - \cos x - 2ax + b$,$x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए एक ह्रासमान (decreasing) फलन है।

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