एक फलन y = f(x),x = frac{1}{1 + t^2} और y = f | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $x = \frac{1}{1+t^2}$ और $y = \frac{1}{t(1+t^2)}$.चूंकि $t > 0$,$1+t^2 > 1$,इसलिए $0 < x < 1$.हमें मिलता है $1+t^2 = \frac{1}{x}$,जिसक

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$(0, 1)$ में वर्धमान है

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(B) दिया गया है $x = \frac{1}{1+t^2}$ और $y = \frac{1}{t(1+t^2)}$.चूंकि $t > 0$,$1+t^2 > 1$,इसलिए $0 हमें मिलता है $1+t^2 = \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $t^2 = \frac{1-x}{x}$.साथ ही,$y = \frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} \cdot x$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 = \frac{x^2}{t^2} = \frac{x^2}{(1-x)/x} = \frac{x^3}{1-x}$.चूंकि $t > 0$,$y > 0$,इसलिए $y = \sqrt{\frac{x^3}{1-x}}$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^3}{1-x}}} \cdot \frac{(1-x)(3x^2) - x^3(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2y} \cdot \frac{3x^2 - 3x^3 + x^3}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 2x^3}{2y(1-x)^2}$.$f$ के वर्धमान होने के लिए,$\frac{dy}{dx} > 0$.चूंकि $y > 0$ और $(1-x)^2 > 0$,हमें $3x^2 - 2x^3 > 0$ की आवश्यकता है।$x^2(3 - 2x) > 0$.$x \in (0, 1)$ के लिए $x^2 > 0$ है,इसलिए हमें $3 - 2x > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x चूंकि $x$ का मान $(0, 1)$ तक सीमित है,फलन सभी $x \in (0, 1)$ के लिए वर्धमान है।

एक फलन $y = f(x)$,$x = \frac{1}{1 + t^2}$ और $y = \frac{1}{t(1 + t^2)}$ द्वारा सभी $t > 0$ के लिए दिया गया है,तो $f$ है:

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$f(x) = 10 - 6x - 2x^2$ . . . . . . अंतराल में निरंतर वर्धमान है।

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