फलन f(x) = sin^p x cos^q x का उच्चिष्ठ (maxim | vedclass

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Question

(A) माना $y = \sin^p x \cos^q x$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$z = \ln(y) = p \ln(\sin x) + q \ln(\cos x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक

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$x = 	an^{-1} \sqrt{p/q}$

Vedclass · Answer

(A) माना $y = \sin^p x \cos^q x$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$z = \ln(y) = p \ln(\sin x) + q \ln(\cos x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dz}{dx} = p \cot x - q 	an x$ प्राप्त होता है।क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dz}{dx} = 0$ रखने पर,$p \cot x = q 	an x$ प्राप्त होता है,अर्थात $	an^2 x = p/q$। अतः,$x = 	an^{-1} \sqrt{p/q}$ है।उच्चिष्ठ की जाँच करने के लिए,द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $\frac{d^2z}{dx^2} = -p \csc^2 x - q \sec^2 x$।चूँकि $p, q > 0$ है,इसलिए $\frac{d^2z}{dx^2} < 0$ होता है,जो यह पुष्टि करता है कि $x = 	an^{-1} \sqrt{p/q}$ एक स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है।

फलन $f(x) = \sin^p x \cos^q x$ का उच्चिष्ठ (maximum) बिंदु है:

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