વિધાન-I: e^{pi} pi^e.વિધાન-II: વિધેય f(x) = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $f(x) = x^{1/x}$ ને $x > 0$ માટે ધ્યાનમાં લો.પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$ મળે છે.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરત

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન-$I$ સાચું છે,વિધાન-$II$ સાચું છે; વિધાન-$II$ એ વિધાન-$I$ માટે સાચું સ્પષ્ટીકરણ છે.

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $f(x) = x^{1/x}$ ને $x > 0$ માટે ધ્યાનમાં લો.પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$ મળે છે.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln(x)(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$ મળે છે.$f'(x) = 0$ લેતા,$1 - \ln(x) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\ln(x) = 1$,તેથી $x = e$.$x  0$ અને $x > e$ માટે,$f'(x) કારણ કે $f(x)$ એ $x = e$ આગળ વૈશ્વિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે,કોઈપણ $x 
eq e$ માટે,$f(e) > f(x)$ થાય.$x = \pi$ મૂકતા,આપણને $e^{1/e} > \pi^{1/\pi}$ મળે છે.બંને બાજુ $e\pi$ ઘાત લેતા,$(e^{1/e})^{e\pi} > (\pi^{1/\pi})^{e\pi}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $e^{\pi} > \pi^e$ થાય છે. આ સાબિત કરે છે કે વિધાન-$I$ સાચું છે.વિધાન-$II$ એ સીધું જ વિધાન-$I$ ની અસમતા તરફ દોરી જાય છે,તેથી વિધાન-$II$ એ વિધાન-$I$ માટે સાચું સ્પષ્ટીકરણ છે.

વિધાન-$I$: $e^{\pi} > \pi^e$.
વિધાન-$II$: વિધેય $f(x) = x^{1/x}$ એ $x = e$ આગળ વૈશ્વિક મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.

Similar Questions

જો $y = a \log x + b x^2 + x$ ના અંતિમ મૂલ્યો $x = -1$ અને $x = 2$ આગળ હોય,તો $\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $f(x) = \int_0^{x^2} \frac{t^2-8t+15}{e^t} dt$,$x \in R$. તો $f$ ના સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓની સંખ્યા અનુક્રમે કેટલી છે?

$f(x) = x^{3}, x \in [-2, 2]$ દ્વારા આપવામાં આવેલા વિધેયનું નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module

વિધાન-$I$: $e^{\pi} > \pi^e$.વિધાન-$II$: વિધેય $f(x) = x^{1/x}$ એ $x = e$ આગળ વૈશ્વિક મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.