फलन f(x) = x^2 e^{-x} किस अंतराल में निरंतर व | vedclass

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Question

(A) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = x^2 e^{-x}$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।गुणन नियम का उपयोग करने पर:$

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$0 < x < 2$

Vedclass · Answer

(A) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = x^2 e^{-x}$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।गुणन नियम का उपयोग करने पर:$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$$f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x}$$f'(x) = x e^{-x} (2 - x)$फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^{-x} > 0$ है,इसलिए असमिका $x e^{-x} (2 - x) > 0$ सरल होकर निम्न रूप लेती है:$x(2 - x) > 0$$-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है:$x(x - 2) द्विघात व्यंजक के शून्यक $x = 0$ और $x = 2$ हैं। यह व्यंजक शून्यकों के बीच ऋणात्मक होता है।अतः,फलन $0 < x < 2$ के लिए निरंतर वर्धमान है।

फलन $f(x) = x^2 e^{-x}$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान है?

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