यदि $|\alpha| < 1$ और $|\beta| < 1$ है,और $1 - \alpha + \alpha^2 - \alpha^3 + \dots \infty = s_1$ तथा $1 - \beta + \beta^2 - \beta^3 + \dots \infty = s_2$ है,तो $1 - \alpha\beta + \alpha^2\beta^2 - \alpha^3\beta^3 + \dots \infty$ का मान क्या होगा?

एक कण मूल बिंदु से शुरू होता है और $1$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{1}$ पर पहुँचता है, फिर यह $\frac{1}{2}$ इकाई लंबवत ऊपर की ओर चलता है और $P_{2}$ पर पहुँचता है, फिर यह $\frac{1}{4}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{3}$ पर पहुँचता है, फिर यह $\frac{1}{8}$ इकाई लंबवत नीचे की ओर चलता है और $P_{4}$ पर पहुँचता है, फिर यह $\frac{1}{16}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{5}$ पर पहुँचता है और इसी तरह आगे बढ़ता है। मान लीजिए $P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \alpha$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n} = \beta$. तो, $(\alpha, \beta)$ है

यदि समीकरण $x^5-40x^4-Px^3-Rx-S=0$ के मूल गुणोत्तर श्रेणी में हैं और मूलों के व्युत्क्रमों का योग $10$ है,तो $|S|=$

समुच्चय $\{3^1, 3^2, 3^3, \dots, 3^{20}\}$ से तीन संख्याएँ चुनी जाती हैं। उन तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे चुनी गई संख्याएँ एक वर्धमान $G.P.$ बनाती हैं।

सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक $k,$ जिसके लिए $49^k+1$ योग $49^{125}+49^{124}+\ldots+49^{2}+49+1$ का एक गुणनखंड है,वह है

फलन $f(\theta) = \alpha \tan^2 \theta + \beta \cot^2 \theta$ और $g(\theta) = \alpha \sin^2 \theta + \beta \cos^2 \theta$ के लिए, जहाँ $\alpha > \beta > 0$, मान लीजिए $\min_{0 < \theta < \pi/2} f(\theta) = \max_{0 < \theta < \pi} g(\theta)$ है। यदि एक गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) का प्रथम पद $(\frac{\alpha}{2\beta})$ है, इसका सार्व अनुपात $(\frac{2\beta}{\alpha})$ है और इसके प्रथम $10$ पदों का योग $\frac{m}{n}$ है, जहाँ $\gcd(m,n)=1$, तो $m+n$ का मान . . . . . . है।