int {frac{{{3^x}}}{{sqrt {{9^x} - 1} }},dx} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{3^x}{\sqrt{9^x - 1}} \, dx$ है। हम समाकलन को $I = \int \frac{3^x}{\sqrt{(3^x)^2 - 1}} \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं। माना $3

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$\frac{1}{{\log 3}}\log |{3^x} + \sqrt {{9^x} - 1} | + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{3^x}{\sqrt{9^x - 1}} \, dx$ है। हम समाकलन को $I = \int \frac{3^x}{\sqrt{(3^x)^2 - 1}} \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं। माना $3^x = t$ है। तब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $3^x \log 3 \, dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3^x \, dx = \frac{dt}{\log 3}$। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \frac{1}{\log 3} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1}}$ प्राप्त होता है। मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - a^2}} = \log |t + \sqrt{t^2 - a^2}| + c$ का उपयोग करते हुए,हमें $I = \frac{1}{\log 3} \log |t + \sqrt{t^2 - 1}| + c$ प्राप्त होता है। अंत में,$t = 3^x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{\log 3} \log |3^x + \sqrt{9^x - 1}| + c$ प्राप्त होता है।

$\int {\frac{{{3^x}}}{{\sqrt {{9^x} - 1} }}\,dx} $

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