int {frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \,dx$ है।अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:$I = \int {\frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}\log \left| \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} \right| + c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \,dx$ है।अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:$I = \int {\frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} \,dx} = \int {\frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} - 1}}} \,dx$।माना $t = x + \frac{1}{x}$,तब $dt = \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx$ होगा।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int {\frac{{dt}}{{{t^2} - 1}}} = \frac{1}{2}\log \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right| + c$।अब $t = x + \frac{1}{x}$ का मान वापस रखने पर:$I = \frac{1}{2}\log \left| {\frac{{x + \frac{1}{x} - 1}}{{x + \frac{1}{x} + 1}}} \right| + c = \frac{1}{2}\log \left| {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right| + c$।

$\int {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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