લક્ષની કિંમત શોધો: mathop {lim}limits_{n to i | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ લક્ષ $\mathop {\lim}\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r=0}^{n-1} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int\limits_0^1 f(x) \, dx$ ના સ્

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ લક્ષ $\mathop {\lim}\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r=0}^{n-1} f\left(\frac{r}{n}ight) = \int\limits_0^1 f(x) \, dx$ ના સ્વરૂપમાં છે. અહીં,પદને $\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{n} \sum\limits_{r=0}^{n-1} \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot \frac{r}{n}ight)$ તરીકે લખી શકાય છે. નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{2}ight)$ મળે છે. તેથી,લક્ષની કિંમત $\frac{\pi}{2} \int\limits_0^1 \cos\left(\frac{\pi x}{2}ight) \, dx$ થશે. સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\frac{\pi}{2} \left[ \frac{\sin(\frac{\pi x}{2})}{\frac{\pi}{2}} ight]_0^1 = \left[ \sin\left(\frac{\pi x}{2}ight) ight]_0^1 = \sin\left(\frac{\pi}{2}ight) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

લક્ષની કિંમત શોધો: $\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \frac{\pi }{2n} \left( 1 + \cos \frac{\pi }{2n} + \cos \frac{2\pi }{2n} + \dots + \cos \frac{(n - 1)\pi }{2n} \right)$

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1^2+n^2}+\frac{2}{2^2+n^2}+\frac{3}{3^2+n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)=$

નીચેના નિશ્ચિત સંકલનનું સરવાળાના લક્ષ તરીકે મૂલ્ય શોધો:
$\int_{0}^{4} (x + e^{2x}) \, dx$

ધારો કે $[ \cdot ]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે અને $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right]$. તો $12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j)$ ની કિંમત ........... છે.

ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ અને $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ જ્યાં $n=1, 2, 3, \ldots$ છે. તો,

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}} =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module