intlimits_a^b [x] ,dx + intlimits_a^b [-x] ,d | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ के लिए,योग $[x] + [-x]$ इस प्रकार परिभाषित है:$[x] + [-x] = \begin{cases} 0, & 	ext{यदि } x \in \mathbb

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$a - b$

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(C) हम जानते हैं कि महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ के लिए,योग $[x] + [-x]$ इस प्रकार परिभाषित है:$[x] + [-x] = \begin{cases} 0, & 	ext{यदि } x \in \mathbb{Z} \ -1, & 	ext{यदि } x 
otin \mathbb{Z} \end{cases}$चूंकि अंतराल $[a, b]$ में पूर्णांकों का समुच्चय $\mathbb{Z}$ का माप शून्य है,इसलिए अंतराल $[a, b]$ पर फलन का समाकलन,अंतराल $[a, b]$ पर अचर मान $-1$ के समाकलन के बराबर है।अतः,$I = \int\limits_a^b ([x] + [-x]) \,dx = \int\limits_a^b (-1) \,dx$$I = -[x]_a^b = -(b - a) = a - b$.

$\int\limits_a^b [x] \,dx + \int\limits_a^b [-x] \,dx$,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,किसके बराबर है?

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मान लीजिए $I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \frac{\sin x}{x} dx$. तो

मान लीजिए $f(x)$ एक निरंतर आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T$ है। मान लीजिए $I = \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx$. तो

$\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi x \sin^3 x \cos^2 x \, dx =$

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} \, dx = $ . . . . . . .

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