int_0^pi sin^2 x , dx का मान ज्ञात कीजिए। | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\pi \sin^2 x \, dx$. गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर,यदि $f(2a - x) = f(x)$ हो: यहाँ,$f

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$\frac{\pi}{2}$

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(B) माना $I = \int_0^\pi \sin^2 x \, dx$. गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर,यदि $f(2a - x) = f(x)$ हो: यहाँ,$f(x) = \sin^2 x$ और $2a = \pi$,इसलिए $a = \frac{\pi}{2}$. चूंकि $f(\pi - x) = \sin^2(\pi - x) = \sin^2 x = f(x)$,यह गुणधर्म लागू होता है। अतः,$I = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^2 x \, dx$. वालिस सूत्र या $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = 2 \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \int_0^{\pi/2} (1 - \cos 2x) \, dx$. $I = [x - \frac{\sin 2x}{2}]_0^{\pi/2} = (\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0) = \frac{\pi}{2}$.

$\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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