समाकलन int frac{x^2 + cos^2 x}{1 + x^2} opera | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int \left( \frac{x^2 + \cos^2 x}{1 + x^2} \right) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ दिया गया है। अंश को $(x^2 + 1 - 1 + \cos^2 x)$

Vedclass · Accepted Answer

$-	an^{-1} x - \cot x + c$

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int \left( \frac{x^2 + \cos^2 x}{1 + x^2} ight) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ दिया गया है। अंश को $(x^2 + 1 - 1 + \cos^2 x)$ के रूप में लिखने पर: $I = \int \left( \frac{x^2 + 1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} + \frac{\cos^2 x}{1 + x^2} ight) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ व्यंजक को सरल करने पर: $I = \int \left( 1 - \frac{1}{1 + x^2} + \frac{\cos^2 x}{1 + x^2} ight) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ $\operatorname{cosec}^2 x$ का वितरण करने पर: $I = \int \left( \operatorname{cosec}^2 x - \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{1 + x^2} + \frac{\cos^2 x}{(1 + x^2) \sin^2 x} ight) \, dx$ चूँकि $\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$: $I = \int \left( \operatorname{cosec}^2 x + \frac{\cot^2 x - \operatorname{cosec}^2 x}{1 + x^2} ight) \, dx$ सर्वसमिका $\cot^2 x - \operatorname{cosec}^2 x = -1$ का उपयोग करने पर: $I = \int \left( \operatorname{cosec}^2 x - \frac{1}{1 + x^2} ight) \, dx$ प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $I = -\cot x - 	an^{-1} x + c$.

समाकलन $\int \frac{x^2 + \cos^2 x}{1 + x^2} \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।

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यदि $\frac{3 \pi}{2} < x < \frac{5 \pi}{2}$ और $\int(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}) \, dx = f(x) + c$ जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है, तो $f\left(\frac{\pi}{3}\right) - f(0) =$

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यदि $\int \frac{1}{\cos 4x \cos 2x} dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left(\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\right) - \frac{1}{2} \log g(x) + C$ है,तो $g\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{2 x+2}{\sqrt{x^2-4 x-5}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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