$P$ એ એક ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક છે અને $A$ એ $4$ ના આવર્તકાળ ધરાવતો આવર્તી શ્રેણિક છે અને $Q = PAP^T$ છે,તો $X = P^TQ^{2005}P$ કોના બરાબર થશે?

શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$ માટે,ચકાસો કે $(A - A^{\prime})$ એ વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) છે.

શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$ એ

જો $A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right]$ અને $B=\left[\begin{array}{rrr}-4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right],$ હોય,તો ચકાસો કે $(A-B)^{\prime}=A^{\prime}-B^{\prime}$.

$P$ એ $3 \times 3$ ચોરસ શ્રેણિક છે અને $\operatorname{Tr}(P) \neq 0$ છે. જો $\operatorname{Tr}(P-P^{T})+\operatorname{Tr}(P+P^{T})+\frac{\operatorname{Tr}(P)}{\operatorname{Tr}(P^T)}+\operatorname{Tr}(P) \times \operatorname{Tr}(P^{T})=0$ હોય, તો $\operatorname{Tr}(P)=$

નીચે આપેલા શ્રેણિકનો પરિવર્ત શ્રેણિક શોધો: $\left[\begin{array}{c}5 \\ \frac{1}{2} \\ -1\end{array}\right]$.