$AB$ और $BC$ एक आयताकार बक्से के आसन्न फलकों के विकर्ण हैं,जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और जिसके किनारे निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं। यदि कोण $\angle BOC, \angle COA$ और $\angle AOB$ क्रमशः $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं,तो $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$ का मान क्या है?

जब अक्षों को बिंदु $(2, -3, 1)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो $2x^2 + 3y^2 - z^2 - 8x + 18y + 2z + 9 = 0$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

यदि दो रेखाएं जो एक दूसरे के साथ $\theta$ कोण पर झुकी हैं,उनके दिक्कोज्या (direction cosines) $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,तो रेखाओं के बीच के आंतरिक द्विभाजक के दिक्कोज्या ज्ञात कीजिए।

बिंदु $P(1,3,2)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-6}{1}$ के समानांतर एक सीधी रेखा,समतल $L_1: x-y+3z=6$ को बिंदु $Q$ पर काटती है। एक अन्य सीधी रेखा जो $Q$ से गुजरती है और समतल $L_1$ के लंबवत है,समतल $L_2: 2x-y+z=-4$ को बिंदु $R$ पर काटती है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $\sqrt{6}$ है
$(B)$ $R$ के निर्देशांक $(1,6,0)$ हैं
$(C)$ त्रिभुज $PQR$ का केंद्रक $\left(\frac{4}{3}, \frac{14}{3}, \frac{5}{3}\right)$ है
$(D)$ त्रिभुज $PQR$ का परिमाप $\sqrt{6}+\sqrt{13}+\sqrt{11}$ है

बिंदु $P$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए ताकि $PA + PB = 4$ हो,जहाँ $A(2, 3, 4)$ और $B(-2, 3, 4)$ हैं।

एक वर्ग $ABCD$ जिसकी विकर्ण की लंबाई $2a$ है,को विकर्ण $AC$ के अनुदिश इस प्रकार मोड़ा जाता है कि समतल $DAC$ और $BAC$ एक-दूसरे के लंबवत हों। $DC$ और $AB$ के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?