z_1 और z_2 दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि | | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $|z_1 + z_2| = 1$ और $|z_1^2 + z_2^2| = 25$.हम जानते हैं कि $z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)(z_1^2 - z_1z_2 + z_2^2)$.साथ ही,$(z_1 + z_2)^

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$37$

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(C) दिया गया है $|z_1 + z_2| = 1$ और $|z_1^2 + z_2^2| = 25$.हम जानते हैं कि $z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)(z_1^2 - z_1z_2 + z_2^2)$.साथ ही,$(z_1 + z_2)^2 = z_1^2 + z_2^2 + 2z_1z_2$,इसलिए $z_1z_2 = \frac{1}{2}((z_1 + z_2)^2 - (z_1^2 + z_2^2))$.इस मान को $z_1^3 + z_2^3$ के व्यंजक में रखने पर:$z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)(\frac{3}{2}(z_1^2 + z_2^2) - \frac{1}{2}(z_1 + z_2)^2)$.दोनों पक्षों का मापांक लेने पर:$|z_1^3 + z_2^3| = |z_1 + z_2| \cdot |\frac{3}{2}(z_1^2 + z_2^2) - \frac{1}{2}(z_1 + z_2)^2|$.त्रिभुज असमिका $|a - b| \ge ||a| - |b||$ का उपयोग करने पर:$|z_1^3 + z_2^3| \ge |z_1 + z_2| \cdot |\frac{3}{2}|z_1^2 + z_2^2| - \frac{1}{2}|z_1 + z_2|^2|$.दिए गए मान $|z_1 + z_2| = 1$ और $|z_1^2 + z_2^2| = 25$ रखने पर:$|z_1^3 + z_2^3| \ge 1 \cdot |\frac{3}{2}(25) - \frac{1}{2}(1)^2| = |37.5 - 0.5| = 37$.

$z_1$ और $z_2$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि $|z_1 + z_2| = 1$ और $|z_1^2 + z_2^2| = 25$,तो $|z_1^3 + z_2^3|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $z = x + iy$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $z\bar{z}^3 + \bar{z}z^3 = 350$ और $x, y$ पूर्णांक हैं,तो $|z| = $

समीकरण $z^2 + \bar{z} = 0$ के हलों की संख्या है

$\frac{{{{( - 1 + i\sqrt 3 )}^{15}}}}{{{{(1 - i)}^{20}}}} + \frac{{{{( - 1 - i\sqrt 3 )}^{15}}}}{{{{(1 + i)}^{20}}}} = \dots$

यदि $a, b, c$ ऐसी शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ $c \neq 1$ और $a^2+b^2+c^2=c$ है,तथा यदि $\alpha=\frac{a+i b}{1-c}$ है,तो $a^2+b^2=$

यदि $z=3+5i$ है,तो $z^3+\bar{z}+198$ का मान ज्ञात कीजिए।

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