निश्चित समाकलन int_{0}^{9} [sqrt{x} + 2] , dx | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{9} [\sqrt{x} + 2] \, dx$ दिया गया है। महत्तम पूर्णांक फलन के गुणधर्म $[x + n] = [x] + n$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ एक

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$31$

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(A) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{9} [\sqrt{x} + 2] \, dx$ दिया गया है। महत्तम पूर्णांक फलन के गुणधर्म $[x + n] = [x] + n$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है,हमें $[\sqrt{x} + 2] = [\sqrt{x}] + 2$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int_{0}^{9} [\sqrt{x}] \, dx + \int_{0}^{9} 2 \, dx$। दूसरे भाग का मान: $\int_{0}^{9} 2 \, dx = 2[x]_{0}^{9} = 2(9 - 0) = 18$। पहले भाग के लिए,हम अंतराल $[0, 9]$ को उन बिंदुओं पर विभाजित करते हैं जहाँ $\sqrt{x}$ एक पूर्णांक है: $\int_{0}^{9} [\sqrt{x}] \, dx = \int_{0}^{1} [\sqrt{x}] \, dx + \int_{1}^{4} [\sqrt{x}] \, dx + \int_{4}^{9} [\sqrt{x}] \, dx$। $[0, 1)$ में,$[\sqrt{x}] = 0$। $[1, 4)$ में,$[\sqrt{x}] = 1$। $[4, 9)$ में,$[\sqrt{x}] = 2$। अतः,$\int_{0}^{9} [\sqrt{x}] \, dx = \int_{0}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{4} 1 \, dx + \int_{4}^{9} 2 \, dx$। $= 0 + (4 - 1) + 2(9 - 4) = 3 + 2(5) = 3 + 10 = 13$। अंत में,$I = 13 + 18 = 31$।

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{9} [\sqrt{x} + 2] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन $(G.I.F.)$ को दर्शाता है।

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