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Question

(C) दिया गया सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} [k^2 x + k^2]}}{n^3}$ है।गुणधर्म $[a+b] = [a] + b$ का उपयोग करने प

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$\frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} [k^2 x + k^2]}}{n^3}$ है।गुणधर्म $[a+b] = [a] + b$ का उपयोग करने पर,जहाँ $b$ एक पूर्णांक है,हमें $[k^2 x + k^2] = [k^2 x] + k^2$ प्राप्त होता है।अतः,$L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} [k^2 x]}}{n^3} + \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} k^2}}{n^3}$ है।प्रथम भाग के लिए,स्क्वीज़ प्रमेय का उपयोग करने पर,$\sum [k^2 x] \approx \sum k^2 x = x \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \approx \frac{x n^3}{3}$ प्राप्त होता है।अतः,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{\sum [k^2 x]}{n^3} = \frac{x}{3}$ है।दूसरे भाग के लिए,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n^3} = \frac{1}{3}$ है।इसलिए,$L = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{[{1^2}x + {1^2}] + [{2^2}x + {2^2}] + [{3^2}x + {3^2}] + \dots + [{n^2}x + {n^2}]}}{{{n^3}}}$ का मान ज्ञात कीजिए :- (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है)

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$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cos 2 x}{\sin ^2 x} = $

माना कि $f(x) = \frac{\ln(x^2 + e^x)}{\ln(x^4 + e^{2x})}$. यदि $\lim_{x \to \infty} f(x) = l$ और $\lim_{x \to -\infty} f(x) = m$ है,तो:

जब $x \to 2$ हो,तो $\frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ के सीमा (limit) का मान क्या होगा?

$[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। यदि $\{x\}=x-[x]$ और $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin ^{-1}(x+[x])}{2-\{x\}}=\theta$ है,तो $\sin \theta+\cos \theta=$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$ ज्ञात कीजिए,जहाँ $f(x) = \begin{cases} x^{2}-1, & x \leq 1 \\ -x-1, & x > 1 \end{cases}$

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