एक गेंद को दिखाए गए स्थान पर $L = 1 \, m$ लंबाई की डोरी के साथ रखा गया है जो बस तनी हुई है और फिर उसे $u = 3 \, m/s$ के वेग से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है। यदि डोरी ऊर्ध्वाधर होने पर फिर से तनी हुई हो जाती है,तो कोण $\theta$ ........ $^o$ है।

दो गेंदें,जिनका रैखिक संवेग $\vec{p}_1 = p \hat{i}$ और $\vec{p}_2 = -p \hat{i}$ है,मुक्त आकाश में टकराती हैं। गेंदों पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है। मान लीजिए $\vec{p}_1^{\prime}$ और $\vec{p}_2^{\prime}$ उनके अंतिम संवेग हैं। $p, a_1, a_2, b_1, b_2, c_1$ और $c_2$ के किसी भी गैर-शून्य मान के लिए निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प $NOT ALLOWED$ (मान्य नहीं) है?
$(A)$ $\vec{p}_1^{\prime} = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$,$\vec{p}_2^{\prime} = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j}$
$(B)$ $\vec{p}_1^{\prime} = c_1 \hat{k}$,$\vec{p}_2^{\prime} = c_2 \hat{k}$
$(C)$ $\vec{p}_1^{\prime} = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$,$\vec{p}_2^{\prime} = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j} - c_1 \hat{k}$
$(D)$ $\vec{p}_1^{\prime} = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j}$,$\vec{p}_2^{\prime} = a_2 \hat{i} + b_1 \hat{j}$

$8 \ kg$ द्रव्यमान वाले एक पिंड का रैखिक संवेग $24 \ kg \ m \ s^{-1}$ है। यदि $24 \ N$ का एक नियत बल पिंड पर उसकी गति की दिशा में $3 \ s$ के समय के लिए कार्य करता है,तो पिंड की गतिज ऊर्जा में वृद्धि है ($J$ में)

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(a)$ यदि बल और विस्थापन का मान $4$ गुना बढ़ा दिया जाए,तो ऊर्जा का मान $16$ गुना बढ़ जाता है।
$(b)$ अप्रत्यास्थ टक्कर में संवेग और ऊर्जा दोनों का संरक्षण होता है।
$(c)$ यदि निकाय पर असंरक्षी बलों द्वारा कार्य किया जाता है,तो स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है।

चित्र में दिखाए अनुसार $m$ द्रव्यमान का एक मनका $R$ त्रिज्या के ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार हूप की दीवार पर घर्षण के बिना फिसल रहा है। मनका गुरुत्वाकर्षण और हूप के निचले हिस्से से जुड़ी $k$ नियतांक वाली स्प्रिंग के संयुक्त प्रभाव में गति करता है। स्प्रिंग की प्राकृतिक (संतुलन) लंबाई $R$ है। यदि मनके को हूप के शीर्ष से नगण्य प्रारंभिक गति के साथ छोड़ा जाता है,तो स्प्रिंग की लंबाई $R$ होने पर मनके का वेग क्या होगा? ($g$ गुरुत्वीय त्वरण है)

$m(=0.1 \ kg)$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक एक घर्षणरहित हल्की स्थिर घिरनी पर एक अविस्तार्य डोरी द्वारा लटकाया गया है। डोरी के दूसरे सिरे को एक नियत बल $F$ द्वारा ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में खींचा जाता है। ब्लॉक के विरामावस्था से गति शुरू करने के $1 \ s$ बाद ब्लॉक का रैखिक संवेग $2 \ kg \ m/s$ बढ़ जाता है। तब, ($g=10 \ m/s^2$ दिया गया है):