એક આપેલા ગોલકમાં મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતો શંકુ અંતર્ગત છે. તો શંકુની ઊંચાઈ અને ગોલકના વ્યાસનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?

ધારો કે $f : (-\infty, \infty) \to (-\infty, \infty)$ એ $f(x) = x^3 + 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધાન-$1$: વિધેયને $x = 0$ આગળ સ્થાનીય ચરમ મૂલ્ય છે.
વિધાન-$2$: વિધેય $f(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર સતત અને વિકલનીય છે અને $f'(0) = 0$ છે.

ધારો કે $f :[2,4] \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $(x \ln x) f'(x) + (\ln x + 1) f(x) \geq 1$,દરેક $x \in [2,4]$ માટે,જ્યાં $f(2) = \frac{1}{2}$ અને $f(4) = \frac{1}{4}$ છે. નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(A): f(x) \leq 1$,દરેક $x \in [2,4]$ માટે
$(B): f(x) \geq \frac{1}{8}$,દરેક $x \in [2,4]$ માટે
તો,

જો $y = \alpha \log x + \beta x^3 - x$ ને $x = -1$ અને $x = 1$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો હોય,તો $\alpha$ અને $\beta$ અનુક્રમે શું હશે?

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકમાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા શંકુની ઊંચાઈ કેટલી થાય?

વિધેય $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો કેટલો થાય?