$a = 30\,cm$ બાજુ ધરાવતો એક સમઘન બ્લોક $v = 2\,m/s$ ના વેગથી લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગતિ કરે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સપાટી પર એક બિંદુ $O$ પાસે નાનો અવરોધ (bump) છે. બ્લોક અવરોધ સાથે અથડાયા પછી તરત જ તેની કોણીય ઝડપ ($rad/s$ માં) કેટલી હશે?

એક કણ $L$ કોણીય વેગમાન સાથે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. જો કણની કોણીય આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે અને તેની ગતિ ઊર્જા અડધી કરવામાં આવે,તો તેનું નવું કોણીય વેગમાન શું થશે?

ખાલી જગ્યા પૂરો:
$(1)$ જો પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = 0$ અને કોણીય ઝડપ $\omega = 0$ હોય,તો પદાર્થ ............. સંતુલનમાં હોવાનું કહેવાય.
$(2)$ પદાર્થમાં કોણીય વેગમાન ત્યારે ઉદ્ભવે કે જ્યારે તેના પર ............. લાગે.
$(3)$ એક પીપને પાણીથી અડધું ભરવામાં આવે છે,તો તેનું ગુરુત્વકેન્દ્ર ............. જશે.
$(4)$ પદાર્થનું સમગ્ર દળ જે બિંદુ પર કેન્દ્રિત થયેલું હોય તેને ............. કહે છે.

દ્રઢ પદાર્થની સામાન્ય ગતિને $(i)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની કોઈ અક્ષની આસપાસની ગતિ અને $(ii)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન અક્ષની આસપાસની ગતિના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય. આ અક્ષો સ્થિર હોવી જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક પાતળી સમાન તકતીને તેના પરિઘ પર એક દળરહિત લાકડી સાથે આડી રીતે વેલ્ડિંગ (દ્રઢ રીતે જોડાયેલ) કરેલ છે. જ્યારે તકતી-લાકડી તંત્રને આડા ઘર્ષણરહિત સમતલ પર ઉદગમબિંદુની આસપાસ $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ ક્ષણે ગતિને $(i)$ તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની $z$-અક્ષની આસપાસની ભ્રમણ ગતિ અને $(ii)$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન ઉભી અક્ષની આસપાસની ભ્રમણ ગતિ (જે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના બદલાયેલા અભિગમ પરથી જોઈ શકાય છે) ના સંયોજન તરીકે લઈ શકાય છે. આ કિસ્સામાં બંને ગતિઓની કોણીય ઝડપ $\omega$ સમાન છે. હવે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે સમાન તંત્રો ધ્યાનમાં લો: કિસ્સો $(a)$ તકતીનો ચહેરો ઉભો અને $x-z$ સમતલને સમાંતર છે; કિસ્સો $(b)$ તકતીનો ચહેરો $x-y$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે અને તેનો આડો વ્યાસ $x$-અક્ષને સમાંતર છે. બંને કિસ્સાઓમાં,તકતીને બિંદુ $P$ પર વેલ્ડિંગ કરવામાં આવે છે,અને તંત્રોને $z$-અક્ષની આસપાસ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે ફેરવવામાં આવે છે.
$1.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) ની આસપાસની કોણીય ઝડપ અંગે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(D)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\omega$ છે.
$2.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) વિશે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ $(a)$ અને $(b)$ માટે ઉભી છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલમાં રહેલી છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે આડી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
$(D)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સમાન પાતળી નળાકાર ડિસ્કને બે સમાન દળરહિત સ્પ્રિંગ્સ સાથે જોડવામાં આવી છે,જેનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ છે અને તે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દીવાલ સાથે જોડાયેલ છે. સ્પ્રિંગ્સ ડિસ્કની ધરી સાથે તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે બંને બાજુએ સપ્રમાણ રીતે જોડાયેલ છે. ધરી દળરહિત છે અને સ્પ્રિંગ્સ તથા ધરી બંને સમક્ષિતિજ સમતલમાં છે. દરેક સ્પ્રિંગની ખેંચાયા વગરની લંબાઈ $L$ છે. ડિસ્ક શરૂઆતમાં તેની સંતુલન સ્થિતિમાં છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ દીવાલથી $L$ અંતરે છે. ડિસ્ક $V_0 \hat{i}$ વેગ સાથે સરક્યા વિના ગબડે છે. ઘર્ષણાંક $\mu$ છે.
$1.$ જ્યારે ડિસ્કનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેની સંતુલન સ્થિતિથી $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત થાય ત્યારે તેના પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ કેટલું હશે?
$(A) -kx$ $(B) -2kx$ $(C) -\frac{2kx}{3}$ $(D) -\frac{4kx}{3}$
$2.$ ડિસ્કનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કઈ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે?
$(A) \sqrt{\frac{k}{M}}$ $(B) \sqrt{\frac{2k}{M}}$ $(C) \sqrt{\frac{2k}{3M}}$ $(D) \sqrt{\frac{4k}{3M}}$
$3.$ $V_0$ નું મહત્તમ મૂલ્ય કેટલું હશે જેના માટે ડિસ્ક સરક્યા વિના ગબડશે?
$(A) \mu g \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(B) \mu g \sqrt{\frac{M}{2k}}$ $(C) \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ $(D) \mu g \sqrt{\frac{5M}{2k}}$

એક એન્જિનની મોટર પોતાની ધરીને અનુલક્ષીને $100 \ rpm$ ની કોણીય ઝડપે ફરે છે. જ્યારે સ્વિચ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $15 \ s$ માં સ્થિર થાય છે. તો તે સ્થિર થાય તે પહેલાં કેટલા પરિભ્રમણો પૂર્ણ કરશે?