प्रारंभिक शर्त y(1)= 0 को संतुष्ट करने वाला ए | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y - x^2$ है। $x$ से भाग देने पर ($x 
eq 0$ मानते हुए): $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - x$। यह $\frac{dy}{

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$\frac{1}{6}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = y - x^2$ है। $x$ से भाग देने पर ($x 
eq 0$ मानते हुए): $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - x$। यह $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = -x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ है। $IF$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} y = -1$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{y}{x} = \int -1 dx = -x + c$। अतः,$y = -x^2 + cx$। प्रारंभिक शर्त $y(1) = 0$ का उपयोग करने पर: $0 = -1 + c \implies c = 1$। वक्र $y = -x^2 + x$ है। वक्र $x$-अक्ष को वहाँ काटता है जहाँ $y=0$ है,अर्थात $-x^2 + x = 0 \implies x(1-x) = 0$,इसलिए $x=0$ और $x=1$ है। वक्र और $x$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\int_0^1 (-x^2 + x) dx$ है। $= [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}]_0^1 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$।

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